【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，(其中)是上的一點，且.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知為拋物線上除頂點之外的任意一點，在點處的切線與軸交于點，過點的直線交拋物線于，兩點，設，，的斜率分別為，，，求證：，，成等比數(shù)列.

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義可得，由在拋物線列出方程，聯(lián)立解方程組即可求出；

(2) 設點，利用導數(shù)的幾何意義求出點處切線的斜率，再由點斜式可求出切線的方程，令，可得，從而可設直線的方程為，與聯(lián)立方程組消去可得，設，利用根與系數(shù)關系可得，再將用，表示并化簡可得，而，從而可證出，，成等比數(shù)列.

(1)由題意，得，解得，或，

又，所以，所以拋物線的方程為.

(2)由題意，得直線的斜率存在，且不為0.

由，得，則，設點，則切線的斜率為，

于是切線的方程為，即，所以.

設直線的方程為，代入，

消去并整理，得，

由直線交拋物線于兩點，得.

設，所以，

又,，所以，，

所以，又，

所以，故成等比數(shù)列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當時武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護物資庫存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機，南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護物資，得知消息后，立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據(jù)調查統(tǒng)計2000輛汽車，通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時間（單位：小時）

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時間送達這批物資，來確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元，且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬元（其他費用忽略不計），以上費用均由生產(chǎn)商承擔，作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達時間分別計分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達時間相互獨立，互不影響）：

到達時間與約定時間的差x（單位：小時）

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準備根據(jù)運輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運輸物資，記該生產(chǎn)商在此次援助活動中援助總額為Y（萬元），求隨機變量Y的期望值，（援助總額一次性費用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】新高考方案規(guī)定，普通高中學業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學生考試時的原始卷面分數(shù)，由高到低進行排序，評定為A，B，C，D，E五個等級.某試點高中2019年參加“選擇考”總人數(shù)是2017年參加“選擇考”總人數(shù)的2倍，為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計了該校2017年和2019年“選擇考”成績等級結果，得到如圖表：

針對該校“選擇考”情況，2019年與2017年比較，下列說法正確的是( )

A.獲得A等級的人數(shù)不變B.獲得B等級的人數(shù)增加了1倍

C.獲得C等級的人數(shù)減少了D.獲得E等級的人數(shù)不變

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.

（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;

（Ⅱ）設AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)的極值；

(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把乘以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把除以2后再加上6，這樣就可得到一個新的實數(shù)，對實數(shù)仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)，當時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲勝的概率為，則的取值范圍是____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設，直線與曲線相交于，兩點，線段的中點為，且，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年12月1日起鄭州市施行《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》，鄭州將正式進入城市生活垃圾分類時代．為了增強社區(qū)居民對垃圾分類知識的了解，積極參與到垃圾分類的行動中，某社區(qū)采用線下和線上相結合的方式開展了一次200名轄區(qū)成員參加的“垃圾分類有關知識”專題培訓．為了了解參訓成員對于線上培訓、線下培訓的滿意程度，社區(qū)居委會隨機選取了40名轄區(qū)成員，將他們分成兩組，每組20人，分別對線上、線下兩種培訓進行滿意度測評，根據(jù)轄區(qū)成員的評分（滿分100分）繪制了如圖所示的莖葉圖．

（1）根據(jù)莖葉圖判斷轄區(qū)成員對于線上、線下哪種培訓的滿意度更高，并說明理由．

（2）求這40名轄區(qū)成員滿意度評分的中位數(shù)，并將評分不超過、超過分別視為“基本滿意”“非常滿意”兩個等級．

（ⅰ）利用樣本估計總體的思想，估算本次培訓共有多少轄區(qū)成員對線上培訓非常滿意；

（ⅱ）根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表．

基本滿意

非常滿意

總計

線上培訓

線下培訓

總計

并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有99．5%的把握認為轄區(qū)成員對兩種培訓方式的滿意度有差異？

附：

0．010

0．005

0．001

6．635

7．879

10．828

，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】新藥在進入臨床實驗之前，需要先通過動物進行有效性和安全性的實驗．現(xiàn)對某種新藥進行5000次動物實驗，一次實驗方案如下：選取3只白鼠對藥效進行檢驗，當3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明顯”，即確定“實驗成功”；若有且只有1只“效果明顯”，則再取2只白鼠進行二次檢驗，當2只白鼠均使用“效果明顯”，即確定“實驗成功”，其余情況則確定“實驗失敗”．設對每只白鼠的實驗相互獨立，且使用“效果明顯”的概率均為．

（Ⅰ）若，設該新藥在一次實驗方案中“實驗成功”的概率為，求的值；

（Ⅱ）若動物實驗預算經(jīng)費700萬元，對每只白鼠進行實驗需要300元，其他費用總計為100萬元，問該動物實驗總費用是否會超出預算，并說明理由．

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