Question

已知函數(shù)f（x）=|cosx|-kx在（0，+∞）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)α，β（α＜β），則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A、cosβ=βsinβ
• B、cosα=αsinα
• C、cosβ=-βsinβ
• D、cosα=-αsinα

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=|cosx|-kx得到g（x）=|cosx|和函數(shù)h（x）=kx，再畫出兩函數(shù)的圖象，問題得解．

解答： 解：原題等價(jià)于方程|cosx|=kx在（0，+∞）恰有兩個(gè)不同的解，
等價(jià)于函數(shù)g（x）=|cosx|與函數(shù)h（x）=kx的圖象在（0，+∞）恰有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖），



在(

π

2

，π)內(nèi)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為β，且此時(shí)直線h（x）=kx與曲線g（x）=|cosx|相切，切點(diǎn)為（β，kβ），
又x∈(

π

2

，π)時(shí)，g（x）=-cosx，g'（x）=sinx，
故k=g'（β）=sinβ，∴kβ=g（β）=-cosβ．
即cosβ=-βsinβ，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)可結(jié)合圖形，難度適中．