【題目】設(shè)函數(shù)，已知不單調(diào)，且其導函數(shù)存在唯一零點.

（1）求的取值范圍；

（2）若集合，，求證：.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）由題意得有唯一零點，且在零點兩側(cè)的符號相反. ，

.對a分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性從而得到的取值范圍；

（2）由（1）知，設(shè)，即.則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴的值域為，即.

要使，只需

（1）由題意得有唯一零點，且在零點兩側(cè)的符號相反.

，.

①當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時，，

故在區(qū)間上存在唯一零點且在零點兩側(cè)的符號相反.

②當時，，得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

若，則存在唯一零點，但在零點兩側(cè)都為負，不合題意；

若，則恒成立，此時無零點，不合題意；

若，又時，，時，，此時有兩個零點，不合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

（2）由（1）知，設(shè)，即.

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴的值域為，即.

要使，只需，即，

也就是.

又，故，即.

又在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，

∴要證 只要證，即.

而，故結(jié)論得證.

練習冊系列答案
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（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是偶函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

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