【題目】設(shè)函數(shù)，已知不單調(diào)，且其導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點.

（1）求的取值范圍；

（2）若集合，，求證：.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）由題意得有唯一零點，且在零點兩側(cè)的符號相反. ，

.對a分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性從而得到的取值范圍；

（2）由（1）知，設(shè)，即.則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴的值域為，即.

要使，只需

（1）由題意得有唯一零點，且在零點兩側(cè)的符號相反.

，.

①當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時，，

故在區(qū)間上存在唯一零點且在零點兩側(cè)的符號相反.

②當(dāng)時，，得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

若，則存在唯一零點，但在零點兩側(cè)都為負，不合題意；

若，則恒成立，此時無零點，不合題意；

若，又時，，時，，此時有兩個零點，不合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

（2）由（1）知，設(shè)，即.

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴的值域為，即.

要使，只需，即，

也就是.

又，故，即.

又在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，

∴要證 只要證，即.

而，故結(jié)論得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在[﹣2，2]上的函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，且f（1﹣m）＜f（3m）．

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是奇函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是偶函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(1)已知直線經(jīng)過點，傾斜角.設(shè)與圓相交與兩點A，B，求點P到兩點的距離之積.

(2)在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為，直線的方程為.

①若直線過圓C的圓心，求實數(shù)的值；

②若，求直線被圓C所截得的弦長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出如下兩個命題：命題，；命題已知函數(shù)，且對任意，，，都有，求實數(shù)的取值范圍，使命題為假，為真.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.

（1）求的值；

（2）證明：為單調(diào)增函數(shù)；

（3）若，求在上的最值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量，向量，函數(shù).

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）求證：存在大于的正實數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個不透明的袋子中有大小形狀完全相同的個乒乓球，乒乓球上分別印有數(shù)字，小明和小芳分別從袋子中摸出一個球（不放回），看誰摸出來的球上的數(shù)字大.小明先摸出一球說：“我不能肯定我們兩人的球上誰的數(shù)字大.”然后小芳摸出一球說：“我也不能肯定我們兩人的球上誰的數(shù)字大.”那么小芳摸出來的球上的數(shù)字是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)n為正整數(shù)集合，n對于集合A中的任意元素和，記.

（1）當(dāng)時，若，，求和的值；

（2）當(dāng)時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α，β，當(dāng)α，β相同時，是奇數(shù)；當(dāng)α，β不同時，是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最值.

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