【題目】將所有平面向量組成的集合記作,是從到的對(duì)應(yīng)關(guān)系,記作或,其中、、、都是實(shí)數(shù),定義對(duì)應(yīng)關(guān)系的模為:在的條件下的最大值記作,若存在非零向量,及實(shí)數(shù)使得,則稱(chēng)為的一個(gè)特殊值;
(1)若,求;
(2)如果,計(jì)算的特征值,并求相應(yīng)的;
(3)若,要使有唯一的特征值,實(shí)數(shù)、、、應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?試找出一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:①有唯一的特征值,②,并驗(yàn)證滿(mǎn)足這兩個(gè)條件.
【答案】(1) ;(2) 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .其中且;(3) ,證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)由新定義得,再利用得即可.
(2)由特征值的定義可得,由此可得的特征值,及相應(yīng)的
(3) 解方程組,再利用平行向量的方法求解證明即可.
(1)由于此時(shí),又因?yàn)槭窃?/span>的條件下,有,當(dāng)時(shí)取最大值,所以此時(shí)有;
(2)由,可得:,
解此方程組可得:,從而.
當(dāng)時(shí),解方程組,此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程,所以此時(shí)方程有無(wú)窮多個(gè)解,為 (寫(xiě)出一個(gè)即可),其中且.
當(dāng)時(shí),同理可得,相應(yīng)的 (寫(xiě)出一個(gè)即可),其中且 (3)解方程組,可得從而向量與平行,從而有、、、應(yīng)滿(mǎn)足:.
當(dāng)時(shí),有唯一的特征值,且.具體證明為:
由的定義可知:,所以為特征值.
此時(shí)滿(mǎn)足:,所以有唯一的特征值.
在的條件下,從而有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)過(guò)多年的運(yùn)作,“雙十一”搶購(gòu)活動(dòng)已經(jīng)演變成為整個(gè)電商行業(yè)的大型集體促銷(xiāo)盛宴.為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié),某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo).經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該促銷(xiāo)產(chǎn)品在“雙十一”的銷(xiāo)售量p萬(wàn)件與促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元滿(mǎn)足(其中,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元(不含促銷(xiāo)費(fèi)用),每一件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為元,假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿(mǎn)足市場(chǎng)的銷(xiāo)售需求.
(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù);
(2)促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若有窮數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)為數(shù)列.
(1)寫(xiě)出滿(mǎn)足的兩個(gè)數(shù)列;
(2)若,,證明:數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是;
(3)記,對(duì)任意給定的正整數(shù),是否存在的數(shù)列,使得?如果存在,求出正整數(shù)滿(mǎn)足的條件;如果不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市對(duì)高二學(xué)生的期末理科數(shù)學(xué)測(cè)試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布,現(xiàn)從甲校100分以上(含100分)的200份試卷中用系統(tǒng)抽樣中等距抽樣的方法抽取了20份試卷來(lái)分析(試卷編號(hào)為001,002,…,200)統(tǒng)計(jì)如下:
試卷編號(hào) | ||||||||||
試卷得分 | 109 | 118 | 112 | 114 | 126 | 128 | 127 | 124 | 126 | 120 |
試卷編號(hào) | ||||||||||
試卷得分 | 135 | 138 | 135 | 137 | 135 | 139 | 142 | 144 | 148 | 150 |
注:表中試卷編
(1)寫(xiě)出表中試卷得分為144分的試卷編號(hào)(寫(xiě)出具體數(shù)據(jù)即可);
(2)該市又從乙校中也用與甲校同樣的抽樣方法抽取了20份試卷,將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖(如圖)在甲乙兩校這40份學(xué)生的試卷中,從成績(jī)?cè)?/span>140分以上(含140分)的學(xué)生中任意抽取3人,該3人在全市排名前15名的人數(shù)記為
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由甲、乙、丙三個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)參加某項(xiàng)闖關(guān)游戲,第一關(guān)解密碼鎖,3個(gè)人依次進(jìn)行,每人必須在1分鐘內(nèi)完成,否則派下一個(gè)人.3個(gè)人中只要有一人能解開(kāi)密碼鎖,則該團(tuán)隊(duì)進(jìn)入下一關(guān),否則淘汰出局.根據(jù)以往100次的測(cè)試,分別獲得甲、乙解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間的頻率分布直方圖.
(1)若甲解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47,求、的值,并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開(kāi)密碼鎖的頻率;
(2)若以解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間位于該區(qū)間的概率,并且丙在1分鐘內(nèi)解開(kāi)密碼鎖的概率為0.5,各人是否解開(kāi)密碼鎖相互獨(dú)立.
①按乙丙甲的先后順序和按丙乙甲的先后順序哪一種可使派出人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望更小.
②試猜想:該團(tuán)隊(duì)以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小,不需要說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn),,平面,平面與平面所成的角為45°,是的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值;
(3)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】半正多面體(semiregular solid)亦稱(chēng)“阿基米德多面體”,如圖所示,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,如此共可截去八個(gè)三棱錐,得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,它們的邊長(zhǎng)都相等,其中八個(gè)為正三角形,六個(gè)為正方形,稱(chēng)這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長(zhǎng)為,則該二十四等邊體外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng),對(duì)任意的,都有,數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求所有正整數(shù)的值,使得恰好為數(shù)列中的項(xiàng).
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