Question

【題目】已知數(shù)列的首項，對任意的，都有，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

（1）求實數(shù)的值；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求所有正整數(shù)的值，使得恰好為數(shù)列中的項.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)遞推公式求出、，由題意得出，求出的值，結(jié)合數(shù)列公比不為的等比數(shù)列進行檢驗，進而得出實數(shù)的值；

（2）求出利用奇偶分組法求出、，設(shè)，可得知，從而可知、或為偶數(shù)，由結(jié)合可推出不成立，然后分和為偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合的取值范圍可求出符合條件的正整數(shù)的值.

（1）由，可知，，，

因為為等比數(shù)列，所以，

即，即，解得或，

當(dāng)時，，所以，則，

所以數(shù)列的公比為1，不符合題意；

當(dāng)時，，所以數(shù)列的公比，

所以實數(shù)的值為.

（2）由（1）知，所以

則

，

則，

因為，又，

且，，所以，則，設(shè)，

則或為偶數(shù)，因為不可能，所以或為偶數(shù)，

①當(dāng)時，，化簡得，

即，所以可取值為1，2，3，

驗證，，得，當(dāng)時，成立.

②當(dāng)為偶數(shù)時，，

設(shè)，則，

由①知，當(dāng)時，；

當(dāng)時，，所以，所以的最小值為，

所以，令，則，

即，無整數(shù)解.

綜上，正整數(shù)的值為.