【題目】在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,對角線與相交于點,,平面,平面與平面所成的角為45°,是的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)求異面直線與所成角的余弦值;
(3)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)(3)
【解析】
(1)根據(jù)線面垂直可以得出,結(jié)合菱形的性質(zhì),可以得到,進而得出平面,依據(jù)面面垂直判定定理可得結(jié)果.
(2)取中點,根據(jù)平移找到異面直線與所成角,計算長度,利用余弦定理可得結(jié)果.
(3)找到平面的垂線并計算垂線段長度,并計算直線在平面的投影的長度,結(jié)合三角函數(shù)可得結(jié)果.
(1)證明:∵平面,∴,
又∵菱形中,且,
∴平面,∴平面平面;
(2)取中點連接,如圖所示:
∴//,
∴與所成角為或其補角,
∵菱形中,
∴,且,
∵平面,∴,,
,又∵
∴平面,∴,
∴二面角的平面角為
∴中,;
∴中,∴;
中,
∴中,,
即與所成角余弦值為
(3)作延長線于,則平面
又∵平面平面,且平面平面,
∴平面,
∴與平面所成角為即
∵中,∴
∴中,,
,
即直線與平面所成角的正弦值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了解社區(qū)群眾體育活動的開展情況,擬采用分層抽樣的方法從A,B,C三個行政區(qū)抽出6個社區(qū)進行調(diào)查.已知A,B,C行政區(qū)中分別有12,18,6個社區(qū).
(1)求從A,B,C三個行政區(qū)中分別抽取的社區(qū)個數(shù);
(2)若從抽得的6個社區(qū)中隨機的抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比,求抽取的2個社區(qū)中至少有一個來自A行政區(qū)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了引導(dǎo)居民合理用水,居民生活用水實行二級階梯式水價計量方法,具體如下;第一階梯,每戶居民每月用水量不超過12噸,價格為4元/噸;第二階梯,每戶居民用水量超過12噸,超過部分的價格為8元/噸,為了了解全是居民月用水量的分布情況,通過抽樣獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照(全市居民月用水量均不超過16噸)分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中字母的值,并求該組的頻率;
(Ⅱ)通過頻率分布直方圖,估計該市居民每月的用水量的中位數(shù)的值(保留兩位小數(shù));
(Ⅲ)如圖2是該市居民張某2016年1~6月份的月用水費(元)與月份的散點圖,其擬合的線性回歸方程是若張某2016年1~7月份水費總支出為312元,試估計張某7月份的用水噸數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將所有平面向量組成的集合記作,是從到的對應(yīng)關(guān)系,記作或,其中、、、都是實數(shù),定義對應(yīng)關(guān)系的模為:在的條件下的最大值記作,若存在非零向量,及實數(shù)使得,則稱為的一個特殊值;
(1)若,求;
(2)如果,計算的特征值,并求相應(yīng)的;
(3)若,要使有唯一的特征值,實數(shù)、、、應(yīng)滿足什么條件?試找出一個對應(yīng)關(guān)系,同時滿足以下兩個條件:①有唯一的特征值,②,并驗證滿足這兩個條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李克強總理在2018年政府工作報告指出,要加快建設(shè)創(chuàng)新型國家,把握世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革大勢,深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略,不斷增強經(jīng)濟創(chuàng)新力和競爭力.某手機生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)政府號召,大力研發(fā)新產(chǎn)品,爭創(chuàng)世界名牌.為了對研發(fā)的一批最新款手機進行合理定價,將該款手機按事先擬定的價格進行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:
單價(千元) | ||||||
銷量(百件) |
已知.
(1)若變量具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量(百件)關(guān)于試銷單價(千元)的線性回歸方程;
(2)用(1)中所求的線性回歸方程得到與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值時,則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從個銷售數(shù)據(jù)中任取個子,求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(參考公式:線性回歸方程中的估計值分別為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)表示不大于實數(shù)的最大整數(shù),函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有5個解,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)n∈N*且n≥2,集合
(1)寫出集合中的所有元素;
(2)設(shè)(,···,),(,···,)∈,證明“=”的充要條件是=(i=1,2,3,···,n);
(3)設(shè)集合={︳(,···,)∈},求中所有正數(shù)之和.
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