Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+2）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-1）為奇函數(shù)，給出以下四個命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；       
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱；
③函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)；   
④函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)．
其中真命題的序號為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：題目中條件：f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=f（x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對稱性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得函數(shù)的對稱中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，及單調(diào)性．

解答： 解：對于①：∵f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為4．①對
對于②：∵y=f（x-1）是奇函數(shù)
∴其圖象關(guān)于原點對稱
又∵函數(shù)f（x）的圖象是由y=f（x-1）向左平移1個單位長度得到．
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，故②對．
對于③：由②知，對于任意的x∈R，都有f（-1-x）=-f（-1+x），
即f（-1-x）+f（-1+x）=0
用x替換-1+x，可得：f（-2-x）+f（x）=0
∴f（-2-x）=-f（x）=f（x+2）對于任意的x∈R都成立．
令t=2+x，則f（-t）=f（t），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，③對．
對于④：∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，④不對．
故答案為：①②③

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性等，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．是中檔題．