已知f(ax)=-x2+2x+2(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若a=2,x∈[
1
4
,16]
,求f(x)的值域;
(3)若x∈[
1
27
,3]
,是否存在實(shí)數(shù)a的值,使得f(x)的值域?yàn)閇-1,3],若存在,求出a的取值的集合;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)ax=t>0,利用換元法即可求出f(x)的解析式;
(2)將a=2代入(1)中求出的函數(shù)解析式,利用換元的思想將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,即可求得答案;
(3)對(duì)于底數(shù)a分0<a<1和a>1兩種情況,再根據(jù)二次函數(shù)的值域,即可分別列出方程,求出a的值,即可求得答案.
解答:解:(1)令ax=t>0,
∴x=logat,
f(x)=-(logax)2+2logax+2(x>0)
(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=-(log2x)2+2log2x+2(x>0),
由題意,x∈[
1
4
,16],log2x∈[-2,4]
,
m=log2x∈[-2,4],y=-m2+2m+2,m∈[-2,4]
對(duì)稱軸為m=1∈[-2,4],
∴f(x)的值域?yàn)閇-6,3].
(3)①當(dāng)a>1時(shí),
x∈[
1
27
,3]
,則logax∈[loga
1
27
loga3]
,
∵f(x)的值域?yàn)閇-1,3],
loga
1
27
=-1
1≤loga3≤3
loga3=-3
-1≤loga
1
27
≤1

∴a∈∅;
②當(dāng)0<a<1時(shí),
x∈[
1
27
,3]
,則logax∈[loga3,loga
1
27
]
,
∵f(x)的值域?yàn)閇-1,3],
loga3=-1
1≤loga
1
27
≤3
loga
1
27
=3
-1≤loga3≤1
,
解得,a=
1
3

綜合①②,存在實(shí)數(shù)a=
1
3
,使得f(x)的值域?yàn)閇-1,3].
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的解析式的求法,函數(shù)的值域,以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.運(yùn)用換元法解題時(shí)要注意換元以后新變量的取值范圍,是個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).本題是一個(gè)函數(shù)性質(zhì)的綜合題,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(任選一題)
①已知函數(shù)f(x)=x2-2,g(x)=xlnx,
(1)若對(duì)一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)試判斷方程ln(1+x2)-
12
f(x)-k=0
有幾個(gè)實(shí)根.
②已知f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且定義在R上,對(duì)任意的x都有2f(x)+xf′(x)>x2,試證明f(x)>0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=lnx-
x-a
x
(其中a>0),g(x)=2x-(x2+1)lnx

(I)已知f(x)和g(x)在[1,+∞)上單調(diào)性一致,求a的取值范圍;
(II)設(shè)b>1,證明不等式
2
1+b2
lnb
b-1
1
b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)為定義在R上的增函數(shù),且不等式f(x2-ax+5a)<2的解集為{x|-3<x<2},則實(shí)數(shù)a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2,g(x)=mlnx(m>0),已知f(x)與g(x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求m的值;
(2)對(duì)于函數(shù)h(x)=ax+b(a,b∈R),若存在a,b,使得關(guān)于x的不等式g(x)≤h(x)≤f(x)+1對(duì)于g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x恒成立,求a的最小值以及對(duì)應(yīng)的h(x)的解析式.

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