設(shè)函數(shù)f(x)=x2,g(x)=mlnx(m>0),已知f(x)與g(x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求m的值;
(2)對(duì)于函數(shù)h(x)=ax+b(a,b∈R),若存在a,b,使得關(guān)于x的不等式g(x)≤h(x)≤f(x)+1對(duì)于g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x恒成立,求a的最小值以及對(duì)應(yīng)的h(x)的解析式.
分析:(1)令x2=mlnx(x>0),得
1
m
=
lnx
x2
,設(shè)p(x)=
lnx
x2
(x>0)
,令p'(x)=0,得x=
e
.再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,能求出m的值.
(2)由g(x)=2elnx.g(x)≤h(x)≤f(x)+1,可知a>0.(ⅰ)由x2-ax-b+1≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,知△=(-a)2-4(-b+1)≤0,解得b≤-
a2
4
+1
.(ⅱ)由2elnx-ax-b≤0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,設(shè)G(x)=2elnx-ax-b,x∈(0,+∞),利用導(dǎo)數(shù)解得得b≥2eln
2
a
.由此能求出對(duì)應(yīng)的h(x)的解析式.
解答:解:(1)令f(x)=g(x),即x2=mlnx(x>0),
可得
1
m
=
lnx
x2
,設(shè)p(x)=
lnx
x2
(x>0)
,
p′(x)=
1
x
x2-2x•lnx
x4
=
2x(
1
2
-lnx)
x4
(x>0)

令p'(x)=0,得x=
e

當(dāng)x∈(0,
e
)
時(shí),p'(x)>0,p(x)遞增;
當(dāng)x∈(
e
,+∞)
時(shí),p'(x)<0,p(x)遞減.
考慮到x∈(0,1]時(shí),
x∈(1,
e
]
時(shí),p(x)=
lnx
x2
∈(0,p(
e
)]=(0,
1
2e
]
;x∈[
e
,+∞)
時(shí),p(x)=
lnx
x2
∈(0,p(
e
)]=(0,
1
2e
]

考慮到m>0,故
1
m
=
1
2e
,因此m=2e.…(4分)
(2)由(1)知,g(x)=2elnx.
g(x)≤h(x)≤f(x)+1,可知a>0.      …(6分)
(。┯蒱(x)≤f(x)+1對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,
即x2-ax-b+1≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,
所以△=(-a)2-4(-b+1)≤0,
解得b≤-
a2
4
+1
①.…(8分)
(ⅱ)由g(x)≤h(x)對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,
即2elnx-ax-b≤0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,
設(shè)G(x)=2elnx-ax-b,x∈(0,+∞),
G′(x)=
2e
x
-a=
-a(x-
2e
a
)
x
,
令G'(x)=0,得x=
2e
a

當(dāng)x∈(0,
2e
a
)
時(shí),G'(x)>0,G(x)遞增;
當(dāng)x∈(
2e
a
,+∞)
時(shí),G'(x)<0,G(x)遞減.
G(x)max=G(
2e
a
)=2eln
2e
a
-2e-b=2eln
2
a
-b
,
則須2eln
2
a
-b≤0
,即得b≥2eln
2
a
②.
由①②得2eln
2
a
≤b≤-
a2
4
+1
③.               …(10分)
存在a,b,使得③成立的充要條件是:
不等式2eln
2
a
≤-
a2
4
+1
④有解.…(12分)
不等式④可化為-
a2
4
-2eln
2
a
+1≥0

-
a2
4
+2eln
a
2
+1≥0
,
a
2
=t
,則有-t2+2elnt+1≥0,
設(shè)φ(t)=-t2+2elnt+1,
φ′(t)=-2t+
2e
t
=
-2(t+
e
)(t-
e
)
t

可知φ(t)在(0,
e
)
上遞增,(
e
,+∞)
上遞減.
又φ(1)=0,φ(
e
)=1>0
,
φ(e)=-e2+2elne+1=-e2+2e+1<0,
所以φ(t)=-t2+2elnt+1在區(qū)間(
e
,e)
內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)t0,
故不等式-t2+2elnt+1≥0的解為1≤t≤t0,
1≤
a
2
t0
,得2≤a≤2t0
因此a的最小值為2,代入③得0≤b≤0,故b=0,
對(duì)應(yīng)的h(x)的解析式為h(x)=2x.        …(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
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1x+1
).
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(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)當(dāng)m=2時(shí),若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
(1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
(2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:不等式ln
n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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