Question

（任選一題）
①已知函數(shù)f（x）=x²-2，g（x）=xlnx，
（1）若對(duì)一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）試判斷方程ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k=0有幾個(gè)實(shí)根．
②已知f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且定義在R上，對(duì)任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x²，試證明f（x）＞0．

Answer 1

分析：①（1）若對(duì)一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，將g（x）代入化簡(jiǎn)得2xlnx+x²-ax+3≥0解出a要小于函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最小值即可；
（2）將f（x）代入到方程中化簡(jiǎn)得k等于一個(gè)函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)的x值，然后討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值，然后討論k的范圍決定方程解的個(gè)數(shù)；
②設(shè)g（x）=x²f（x），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得g（x）≥0，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答：解：①（1）若對(duì)一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，
即2xlnx+x²-ax+3≥0在x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤2lnx+x+

3

x

在x∈（0，+∞）恒成立，
令F（x）=2lnx+x+

3

x

，則F′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
令F′（x）=0，則x=1，∴F（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴F_min=F（1）=4，∴只需a≤4．
（2）將原方程化為ln（1+x2）-

1

2

x²+1=k，
令G（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²+1，為偶函數(shù)，且G（0）=1，x＞0時(shí)G′（x）=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

∴G（x）_max=

1

2

+ln2且x→+∞，y→-∞，
∴k＞

1

2

+ln2時(shí)，無(wú)解；k=

1

2

+ln2或k=1時(shí)，三解；1＜k＜

1

2

+ln2，四解；k＜1時(shí)，兩解．
②證明：設(shè)g（x）=x²f（x），則令g'（x）=x[2f（x）+xf'（x）]=0得x=0
當(dāng)x＜0，g'（x）＜0，∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（0）=0
∴g（x）≥0
∵f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x²，∴f（x）=0不成立
∴f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，理解函數(shù)恒成立條件的能力，以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用能力，考查不等式的證明，屬于中檔題．