Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$．．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{x}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
因為f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞）．
（2）證明：由（1）得：f（x）=xlnx在最小值是-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時取得，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{x}$，（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x＞0，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，
故g（x）在最大值是g（1）=-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得，
故原不等式成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．