Question

（2013•青島一模）定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長(zhǎng)度均為d=b-a．用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x]，其中x∈R．設(shè)f（x）=[x]{x}，g（x）=x-1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長(zhǎng)度，則當(dāng)0≤x≤3時(shí)，有（　�。�

A．d=1

B．d=2

C．d=3

D．d=4

Answer 1

分析：先化簡(jiǎn)f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡(jiǎn)f（x）＜（x），再分類討論：①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)③當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集的長(zhǎng)度．

解答：解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集為[2，3]，故d=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題