(2013•青島一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-1,0),B(1,0),動點C滿足:△ABC的周長為2+2
2
,記動點C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)曲線W上是否存在這樣的點P:它到直線x=-1的距離恰好等于它到點B的距離?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)E曲線W上的一動點,M(0,m),(m>0),求E和M兩點之間的最大距離.
分析:(Ⅰ)由:△ABC的周長為2+2
2
,得到兩邊BC與AC的長度和,又點A(-1,0),B(1,0),符合橢圓定義,所以W的方程可求;
(Ⅱ)若線W上存在這樣的點P:它到直線x=-1的距離恰好等于它到點B的距離,說明點P又在拋物線在y2=4x上,聯(lián)立橢圓和拋物線方程即可得到點P的坐標(biāo);
(Ⅲ)把動點E的坐標(biāo)僅用y表示,然后直接寫出E和M兩點之間的距離,距離中只含有參數(shù)m,對m進(jìn)行分類討論求解距離的最大值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)C(x,y),∵△ABC的周長為2+2
2
,∴|AC|+|AB|+|BC|=2+2
2

又|AB|=2,∴|AC|+|BC|=2
2
>2
,
根據(jù)橢圓的定義知,動點C的軌跡是以A、B為焦點,長軸長為2
2
的橢圓(除去與x軸的兩個交點).
從而a=
2
,c=1
,b2=a2-c2=1
∴W的方程為
x2
2
+y2=1
(y≠0);   
(Ⅱ)存在兩個點(3
2
-4,-2
3
2
-4
)
(3
2
-4,2
3
2
-4
)
滿足題意.
事實上,假設(shè)存在點P滿足題意,則點P為拋物線y2=4x與曲線
x2
2
+y2=1
(y≠0)的交點,
y2=4x
x2
2
+y2=1(y≠0)
消去y得:x2+8x-2=0.
解得x=3
2
-4
x=-3
2
-4
(舍去).
x=3
2
-4
代人拋物線的方程得y=±2
3
2
-4

所以存在兩個點(3
2
-4,-2
3
2
-4
)
(3
2
-4,2
3
2
-4
)
滿足題意.
(Ⅲ)設(shè)E(x,y),則由
x2
2
+y2=1
(y≠0)得x2=2-2y2(-1≤y≤1,且y≠0)|ME|=
x2+(y-m)2
=
2-2y2+(y-m)2
=
-(y+m)2+2m2+2

若-m<-1,即m>1時,當(dāng)y=-1時,|ME|max=
m2+2m+1
=m+1

若-1≤-m<0,即0<m≤1時,當(dāng)y=-m時,|ME|max=
2m2+2
點評:本題考查了橢圓和拋物線的定義,考查了方程組的求解方法,訓(xùn)練了利用分類討論求函數(shù)最值,是中檔題.
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