Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，且（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．
（1）若λ=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求λ的值，使數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）λ=1，則（S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1，可得

Sn+1+1

Sn+1

=

an+1

an

，利用疊乘法，可得S_n+1+1=2a_n+1，再寫(xiě)一式，兩式相減，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）要使數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，必須有2a₂=a₁+a₃，解得λ=0，即可得出結(jié)論．．

解答： 解：（1）若λ=1，則（S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1，a₁=S₁=1．
又∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴

Sn+1+1

Sn+1

=

an+1

an

，…（2分）
∴

S2+1

S1+1

•

S3+1

S2+1

•…•

Sn+1+1

Sn+1

=

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an+1

an

，
化簡(jiǎn)，得S_n+1+1=2a_n+1．①…（4分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1=2a_n．②
②-①，得a_n+1=2a_n，∴

an+1

an

=2（n≥2）．              …（6分）
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2，∴n=1時(shí)上式也成立，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，a_n=2^n-1（n∈N^*）． …（8分）
（2）令n=1，得a₂=λ+1．
令n=2，得a₃=（λ+1）²．           …（10分）
要使數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，必須有2a₂=a₁+a₃，解得λ=0   …（11分）
當(dāng)λ=0時(shí)，S_n+1a_n=（S_n+1）a_n+1，且a₂=a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1（S_n-S_n-1）=（S_n+1）（S_n+1-S_n），
整理，得

Sn+1

Sn-1+1

=

Sn+1

Sn

，…（13分）
從而

S2+1

S1+1

•

S3+1

S2+1

•…•

Sn+1

Sn-1+1

=

S3

S2

•

S4

S3

•…•

Sn+1

Sn

，
化簡(jiǎn)，得S_n+1=S_n+1，
∴a_n+1=1．                         …（15分）
綜上所述，a_n=1，
∴λ=0時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．                       …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用疊乘法是關(guān)鍵．