Question

數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，已知a₁=

2

3

，且對任意正整數(shù)m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立則實數(shù)a的最小值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_m+n=a_m•a_n，令m等于1，確定此數(shù)列是首項和公比都為

2

3

的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和的公式表示出S_n，求出滿足條件a的范圍，再求出a的最小值．

解答： 解：由題意得，對任意正整數(shù)m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，
令m=1，得到a_n+1=a₁•a_n，所以

an+1

an

=a₁=

2

3

，
則數(shù)列{a_n}是首項、公比都為

2

3

的等比數(shù)列，
則S_n=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=2[1-(

2

3

)n]＜2，
因為S_n＜a恒成立，所以a≥2，
則實數(shù)a的最小值為2，
故選：D．

點評：比呢題考查了等比數(shù)列關(guān)系的確定，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，靈活運用等比數(shù)列的前n項和的公式及會進(jìn)行極限的運算，是一道綜合題．