Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值；

（3）若，有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的導數(shù)，解不等式與可求函數(shù)的單調遞減區(qū)間與單調遞增區(qū)間；（2）因為，，分與分別討論函數(shù)的單調性求其最值即可；（3）時恒成立等價于，令，求函數(shù)的導數(shù)，研究在單調性，求其最小值，由求這即可.

試題解析： （1）易知定義域為，

，令，得，

當時，；當時，，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

（2）因為，，，

①若，則，從而在上是增函數(shù)，

∴，不合題意；

②若，則由，即，若，在上是增函數(shù)，由①知不合題意，

由，即．

從而在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

∴，

令，所以，因為，所以所求的．

（3）因為時恒成立，所以，

令，∴恒大于0，所以在為增函數(shù)，

∴，∴．