Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-

9

2

x2+6x-a．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若方程f（x）=0有且僅有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求出函數(shù)的極大值與極小值，根據(jù)方程f（x）=0有且僅有三個(gè)實(shí)根，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x3-

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2

x2+6x-a，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∞（-∞，1）和（2，+∞）是增區(qū)間；（1，2）是減區(qū)間--------（6分）
（2）由（1）知 當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極大值f（1）=

5

2

-a；
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取極小值f（2）=2-a；----------（9分）
∵方程f（x）=0僅有三個(gè)實(shí)根．
∴

f(1)＞0 f(2)＜0

解得：2＜a＜

5

2

------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，求出函數(shù)的極值是關(guān)鍵．