Question

有一種新型的洗衣液，特點是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個單位的洗衣液，它在水中釋放的濃度y與時間x（小時）的關系可近似地表示為：y=a•f（x），其中f（x）=

2- x 6 - 6 x+3     0≤x＜3 1- x 6               3≤x≤6

；若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗，只有當水中洗衣液的濃度不低于

1

3

時，才能起到有效去污的作用．
（Ⅰ） 如果只投放1個單位的洗衣液，則能夠維持有效去污作用的時間有多長？
（Ⅱ） 第一次投放1個單位的洗衣液后，當水中洗衣液的濃度減少到

1

3

時，馬上再投放1個單位的洗衣液，設第二次投放后水中洗衣液的濃度為g（x），求g（x）的函數(shù)解析式及其最大值；
（Ⅲ）若第一次投放2個單位的洗衣液，4小時后再投放a個單位的洗衣液，要使接下來的2小時中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)模型的選擇與應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用水中洗衣液的濃度不低于

1

3

，可得f(x)≥

1

3

，再利用分段函數(shù)的意義分類討論即可解出；
（II）由（I）知，x=4時第二次投入1單位洗衣液，顯然g（x）的定義域為{x|4≤x≤10}，根據(jù)分段函數(shù)的意義可得：當4≤x≤6時，第一次投放1單位洗衣液還有殘留，故g（x）=(1-

x

6

)+[2-

x-4

6

-

6

(x-4)+3

]=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

；當6＜x≤10時，第一次投放1單位洗衣液已無殘留，故當6＜x≤7時，g（x）=2-

x-4

6

-

6

x-4+3

=

8

3

-

x

6

-

6

x-1

；當7＜x≤10時，g（x）=1-

x-4

6

=

5

3

-

x

6

；再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（III）當4≤x≤6時，y=2(1-

x

6

)+a(2-

x-4

6

-

6

x-1

)=2+

8a

3

-

a+2

6

x-

6a

x-1

，通過對a分類討論，再研究其單調(diào)性最小值即可．

解答： 解：（I）由題意知

0≤x＜3 2- x 6 - 6 x+3 ≥ 1 3

或

3≤x≤6 1- x 6 ≥ 1 3

解得1≤x≤3或3≤x≤4，即1≤x≤4；
∴能夠維持有效的抑制作用的時間：4-1=3小時；
（II）由（I）知，x=4時第二次投入1單位洗衣液，顯然g（x）的定義域為{x|4≤x≤10}；
當4≤x≤6時，第一次投放1單位洗衣液還有殘留，故g（x）=(1-

x

6

)+[2-

x-4

6

-

6

(x-4)+3

]=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

；
當6＜x≤10時，第一次投放1單位洗衣液已無殘留，故
當6＜x≤7時，g（x）=2-

x-4

6

-

6

x-4+3

=

8

3

-

x

6

-

6

x-1

；
當7＜x≤10時，g（x）=1-

x-4

6

=

5

3

-

x

6

；
∴g(x)=

11 3 - x 3 - 6 x-1 ，4≤x≤6 8 3 - x 6 - 6 x-1 ，6＜x≤7 5 3 - x 6 ，7＜x≤10

．
當4≤x≤6時，g（x）=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

=

10

3

-(

x-1

3

+

6

x-1

)≤

10

3

-2

x-1 3 • 6 x-1

=

10

3

-2

2

；
當且僅當

x-1

3

=

6

x-1

時取“=”，即x=1+3

2

∈[4，6]；
當6＜x≤10時，第一次投放1單位洗衣液已無殘留，
當6＜x≤7時，g′(x)=

6

(x-1)2

-

1

6

=

(x+5)(7-x)

6(x-1)2

＞0，∴g（x）為增函數(shù)；
當7＜x≤10時，g（x）為減函數(shù)；故 g(x)max=g(7)=

1

2

，
又(

10

3

-2

2

)-

1

2

=

17-12 2

6

=

289 - 288

6

＞0，
∴第一次投放1+3

2

小時后，水中洗衣液濃度的達到最大值為

10

3

-2

2

；
（III）當4≤x≤6時，
y=2(1-

x

6

)+a(2-

x-4

6

-

6

x-1

)
=2+

8a

3

-

a+2

6

x-

6a

x-1

=

10+15a

6

-[

a+2

6

(x-1)+

6a

x-1

]，
若

10

7

＜a≤4時，u=[

a+2

6

(x-1)+

6a

x-1

]max=

5a+2

2

∴ymin=

10+15a

6

-

5a+2

2

=

2

3

≥

1

3

恒成立；
若1≤a≤

10

7

時，u=[

a+2

6

(x-1)+

6a

x-1

]max=

61a+50

30

∴ymin=

10+15a

6

-

61a+50

30

=

7a

15

，
∴由

7a

15

≥

1

3

得a≥

5

7

，∴

5

7

≤a≤

10

7

；
綜上，

5

7

≤a≤4，即a的最小值為

5

7

．

點評：本題考查了分段函數(shù)的意義及其單調(diào)性、分類討論等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．