如圖,點(diǎn)是橢圓()的左焦點(diǎn),點(diǎn),分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),橢圓的離心率為,點(diǎn)在軸上,且,過點(diǎn)作斜率為的直線與由三點(diǎn),,確定的圓相交于,兩點(diǎn),滿足.
(1)若的面積為,求橢圓的方程;
(2)直線的斜率是否為定值?證明你的結(jié)論.
(1)
(2)
解析試題分析:解:(1)由已知可得, , 2分
又,
解得. 3分
所求橢圓方程為. 4分
(2)由 得,則 5分
因 則(斜率顯然存在且不為零) 6分
而
設(shè) ,則
得 ,所以 7分
則圓心的坐標(biāo)為,半徑為 8分
據(jù)題意 直線的方程可設(shè)為 ,即 9分
由 得 10分
即 ,得,而
所以 11分
在等腰三角形中 由垂徑定理可得點(diǎn)到直線的距離為. 12分
則 13分
解得 而 故 (定值) 14分
考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線,與橢圓:()相交于,兩點(diǎn). 當(dāng)軸時(shí),,當(dāng)軸時(shí),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點(diǎn)為,且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上.
(1)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn),交軸于點(diǎn),已知,則
是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的方程為,其離心率為,經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),求直線的方程;
(2)若線段的中垂線交軸于點(diǎn),求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在斜率為1的直線,使其與圓C交于A, B兩點(diǎn),且OA⊥OB,若存在,求出該直線方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn).
(1)若橢圓的半焦距,直線與圍成的矩形的面積為8,
求橢圓的方程;
(2)若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:;
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率滿足,求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)F為拋物線E: 的焦點(diǎn),A、B、C為該拋物線上三點(diǎn),已知 且.
(1)求拋物線方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線相交于點(diǎn)Q。證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,直線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求直線和橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:點(diǎn)在以線段為直徑的圓上;
(Ⅲ)在直線上有兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn),以為直徑且過點(diǎn)的所有圓中,求面積最小的圓的半徑長(zhǎng).
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