Question

設函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過點P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最值；
（Ⅲ）證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，建立方程組，即可a，b的值；
（Ⅱ）確定函數(shù)在（0，1.5）上單調遞增，在（1.5，+∞）上單調遞減，可得函數(shù)的最大值，無最小值；
（Ⅲ）構造函數(shù)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，利用導數(shù)求得g（x）的最大值為0，即得g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx過點P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函數(shù)f（x）=x-x²+blnx的導數(shù)為f′（x）=x-2x+

b

x

，
∵曲線y=f（x）過點P（1，0）且在點P處的切線斜率為2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3．
（Ⅱ）解：f（x）=x-x²+3lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=1-2x+

3

x

=-

(x+1)(2x-3)

x

，
∴函數(shù)在（0，1.5）上單調遞增，在（1.5，+∞）上單調遞減，
∴x=1.5時，函數(shù)取得最大值-0.75+3ln1.5，無最小值；
（Ⅲ）證明：f（x）的定義域為（0，+∞）
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx
設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx
則g′（x）=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，
當x＞1時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，
而g（1）=0，
故當x＞0時，g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

點評：考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值；會將解不等式問題轉化為求函數(shù)最值問題解決，考查對構造函數(shù)及劃歸思想的運用能力，屬于中檔題．