Question

已知函數(shù)f(x)=

(x2-2ax)ex ，x＞0 bx  x≤0

，g（x）=clnx+b，且x=

2

是函數(shù)f（x）的極值點．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）-m=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若直線l是函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線，且直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，求實數(shù)b的取值范圍的集合．

Answer 1

分析：（1）先求出其導函數(shù)，利用x=

2

是函數(shù)y=f（x）的極值點對應 f′(

2

)=0，求出a的值；
（2）函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，轉化為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，利用導函數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間，畫出草圖，結合圖象即可求出實數(shù)m的取值范圍．
（3）利用導函數(shù)分別求出兩個函數(shù)的切線方程，利用方程相等，對應項系數(shù)相等即可求出關于實數(shù)b的等式，再借助于其導函數(shù)即可求出實數(shù)b的取值范圍．（注意范圍限制）．

解答：解：（1）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f′(

2

)=0∴[2+2

2

(1-a)-2a]e

2

=0，
∴2+2

2

-2a-2

2

a=0
得a=1，所以x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．（3分）
令f'（x）=0得 x=

2

(x=-

2

舍去）．

當x＞0時，
當 x∈(0，

2

)時，f（x）單調遞減，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
當 x∈(

2

，+∞)f（x）單調遞增，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
∴x＞0時，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
要使函數(shù)?（x）=f（x）-m有兩個零點，即方程f（x）-m=0有兩不相等的實數(shù)根，
也即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當b＞0時，m=0或 m=(2-2

2

)e

2

；
②當b=0時，m∈(2-2

2

)e

2

，0)；
③當b＜0時，m∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．（6分）
（3）假設存在，x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²（x-2），
因直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，∴y₀=clnx₀+b.g′(x)=

c

x

，
所以切線l的斜率為 g′(x)=

c

x0

，
所以切線l的方程為：y-y0=

c

x0

(x-x0)即l的方程為：y=

c

x0

x-c+b+clnx0，
得

c x0 =2e2 -c+b+clnx0=-4e2

⇒

c=2e2x0 b=c-clnx0-4e2

．
得b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]（10分）
記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，h'（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
所以實數(shù)b的取值范圍為：b|-4e²≤b≤-2e²．（14分）

點評：本題第一問主要研究利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性時，一般結論是：導數(shù)大于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導數(shù)小于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．