【題目】已知函數(shù),( 為實數(shù)),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)求證:
【答案】(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)在取得極大值,其極大值為.(3)詳見解析
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)數(shù)得到,然后討論a的符號,從而可判斷導(dǎo)數(shù)符號,這樣即可求出每種情況下函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)可先求出函數(shù)g(x)的定義域,然后求導(dǎo),判斷導(dǎo)數(shù)的符號,從而根據(jù)極值的概念求出函數(shù)g(x)的極值;(3)可知a=1時,f(x)在x=0處取得極小值,從而可得出,而由(2)可知g(x)在x=1處取得極大值,也是最大值-1,這樣即可得出lnx≤x-1<x,這樣便可得出要證的結(jié)論
試題解析:(1)由題意得
當(dāng)時, 恒成立,函數(shù)在R上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,由可得,由可得,
故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)函數(shù)的定義域為, ,
由可得;由,可得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故函數(shù)在取得極大值,其極大值為.
⑶當(dāng)時, ,由(1)知, 在處取得極小值,也是最小值,且,故,得到.
由(2)知, 在處取得最大值,且,
故,得到.
綜上.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在四棱柱,側(cè)棱底面, , ,且, , ,側(cè)棱.
(1)若為上一點,試確定點的位置,使平面;
(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在遂寧市中央商務(wù)區(qū)的街道,有一中年人吆喝“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黃色、2只白色的乒乓球(其體積,質(zhì)地完全相同),旁邊立著一塊小黑板寫道:
摸球方法:從袋中隨機(jī)摸出3個球,若摸得統(tǒng)一顏色的3個球,攤主送個摸球者10元錢;若摸得非同一顏色的3個球。摸球者付給攤主2元錢。
(1)摸出的3個球中至少有1個白球的概率是多少?
(2)假定一天中有100人次摸獎,試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)能賺多少錢?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l經(jīng)過點,則
(1)若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,且△OAB的面積為4,求直線l的方程;
(2)若直線l與原點距離為2,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,滿足,且,公比大于1的等比數(shù)列滿足, .
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)若,求數(shù)列的前n項和;
(3)在(2)的條件下,若對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層,某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元,該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率,左、右焦點分別為, ,點滿足: 在線段的中垂線上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若斜率為()的直線與軸、橢圓順次相交于點、、,且,求的取值范圍.
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