【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓,如圖所示,斜率為k(k>0)且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為E,射線OE交橢圓C于點(diǎn)G,交直線x=﹣3于點(diǎn)D(﹣3,m).

(1)求m2+k2的最小值;

(2)若|OG|2=|OD||OE|,求證:直線l過定點(diǎn).

【答案】(1)2;(2)見解析

【解析】

1)設(shè)出直線方程為,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,化簡為一元二次方程的形式.根據(jù)直線和橢圓有兩個交點(diǎn)得出判別式大于零,寫出韋達(dá)定理,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo),由此求得直線的斜率和方程,根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得的關(guān)系式,結(jié)合基本不等式求得的最小值.2)將直線的方程代入橢圓方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間的距離公式,求得,代入列方程,解方程求得的關(guān)系,由此判斷出直線過定點(diǎn).

(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+t(k>0),由題意,t>0,

由方程組,得(3k2+1)x2+6ktx+3t2﹣3=0,由題意△>0,所以3k2+1>t2,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得,所以,

由于E為線段AB的中點(diǎn),因此

此時,所以O(shè)E所在直線的方程為,

又由題意知D(﹣3,m),令x=﹣3,得,即mk=1,

所以m2+k2≥2mk=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=k=1時上式等號成立,

此時由△>0得0<t<2,因此當(dāng)m=k=1且0<t<2時,m2+k2取最小值2.

(2)證明:由(1)知D所在直線的方程為,

將其代入橢圓C的方程,并由k>0,解得,又

由距離公式及t>0得,,,

由|OG|2=|OD||OE|,得t=k,

因此直線l的方程為y=k(x+1),所以直線l恒過定點(diǎn)(﹣1,0).

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(1)用所給編號列出所有可能抽取的結(jié)果;

(2)求丙協(xié)會至少有一名運(yùn)動員參加雙打比賽的概率;

(3)求參加雙打比賽的兩名運(yùn)動員來自同一協(xié)會的概率.

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