Question

【題目】設函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)； （2）.

【解析】

（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求，進而根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（2）采用分離參數(shù)法，得，根據(jù)在上存在零點，可知有解，構(gòu)造，求導，知在上存在唯一的零點，即零點k滿足，進而求得，再根據(jù)有解，得證

（1）解：函數(shù)的定義域為，

因為，所以．

所以當時，，在上是增函數(shù)；

當時，，在上是減函數(shù)．

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

（2）證明：由題意可得，當時，有解，

即有解．

令，則．

設函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．

又，所以在上存在唯一的零點．

故在上存在唯一的零點．設此零點為，則．

當時，；當時，．

所以在上的最小值為．

又由，可得，所以，

因為在上有解，所以，即．