【題目】如圖所示,矩形和矩形所在平面互相垂直,與平面及平面所成的角分別為,,、分別為、的中點,且.
(1)求證:平面;
(2)求線段的長;
(3)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)由面面垂直的性質(zhì)定理易得面;由中位線定理可得,所以有面;(2)利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得,在中,由勾股定理求得的長;(3)過 作于點,過作于,連,由三垂線定理可證為所求二面角的平面角,用面積法求出和,由 求得二面角的平面角的正弦值.
試題解析:(1)證明:因為面面,面面,,所以面.
因為,分別為,的中點,所以,故面.………………(4分)
(2)由(1)可知為與面所成角,,
在直角三角形中,,,所以.
又面面,面面,
,所以面.
所以為與面所成角,,
因此,在直角三角形中,.
在直角三角形中,.………………(8分)
(3)如圖,過作于點,過作于點,連接.
因為面,面,
所以.
又,,所以面,
面,故,
又,,所以面.
面,故,又,
因此為所求二面角的平面角.
在直角三角形中,由面積相等有,得
在直角三角形中,同理可得.
.………………(12分)
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【題目】用反證法證明“三角形中至少有兩個銳角”,下列假設(shè)正確的是( )
A. 三角形中至多有兩個銳角 B. 三角形中至多只有一個銳角
C. 三角形中三個角都是銳角 D. 三角形中沒有一個角是銳角
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【題目】下列關(guān)于算法的敘述中正確的是( )
A. —個算法必須能解決一類問題 B. 求解某個問題的算法是唯一的
C. 算法不能重復(fù)使用 D. 算法的過程可以是無限的
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【題目】“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù),某奇數(shù)是9的倍數(shù),故某奇數(shù)是3的倍數(shù).”上述推理( )
A. 大前提錯 B. 小前提錯 C. 結(jié)論錯 D. 正確
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【題目】若方程 所表示的曲線為C,給出下列四個命題:
①若C為橢圓,則;
②若C為雙曲線,則或;
③曲線C不可能是圓;
④若,曲線C為橢圓,且焦點坐標為;
⑤若,曲線C為雙曲線,且虛半軸長為.
其中真命題的序號為____________.(把所有正確命題的序號都填在橫線上)
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【題目】若洗水壺要用 1 分鐘、燒開水要用 10 分鐘、洗茶杯要用 2 分鐘、取茶葉要用 1 分鐘、 沏茶 1 分鐘,那么較合理的安排至少也需要 ( )
A. 10分鐘 B. 11分鐘 C. 12分鐘 D. 13分鐘
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【題目】下列四個命題:
①方程若有一個正實根,一個負實根,則;
②函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);
③函數(shù)的值域是,則函數(shù)的值域為;
④一條曲線和直線的公共點個數(shù)是,則的值不可能是1.
其中正確的有 (寫出所有正確的命題的序號).
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