【題目】如圖,在四棱錐中,為矩形,是以為直角的等腰直角三角形,平面平面

(Ⅰ)證明:平面平面;

(Ⅱ)為直線的中點(diǎn),且,求二面角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;

(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)由為矩形,得,再由面面垂直的性質(zhì)可得平面,則,結(jié)合,由線面垂直的判定可得平面,進(jìn)一步得到平面平面;

(Ⅱ)取中點(diǎn)O,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值,再由平方關(guān)系求得二面角的正弦值.

(Ⅰ)證明:為矩形,,

平面平面,平面平面,

平面,則,

,

平面,而平面,

平面平面

(Ⅱ)取中點(diǎn)O,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,是以為直角的等腰直角三角形,

得:

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,取,得

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,取,得.

∴二面角的正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】四棱錐中,平面平面,四邊形為矩形,,,.

(1)求證:平面;

(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定圓,過定點(diǎn)的直線交圓兩點(diǎn).

1)若,求直線的斜率;

2)求面積的取值范圍;

3)若圓內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)是,且過點(diǎn)的直線交圓兩點(diǎn),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,滿足();數(shù)列為等差數(shù)列.且,

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)若為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求滿足不等式n的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)定點(diǎn),常數(shù),動(dòng)點(diǎn),設(shè),,且

1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;

2)設(shè)直線與點(diǎn)的軌跡交于,兩點(diǎn),問是否存在實(shí)數(shù)使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著智能手機(jī)的普及,使用手機(jī)上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘I畹囊徊糠,很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來越大.某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了人口規(guī)模相當(dāng)?shù)?/span>個(gè)城市采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn),經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià): (單位:元/月)和購買總?cè)藬?shù)(單位:萬人)的關(guān)系如表:

定價(jià)x(元/月)

20

30

50

60

年輕人(40歲以下)

10

15

7

8

中老年人(40歲以及40歲以上)

20

15

3

2

購買總?cè)藬?shù)y(萬人)

30

30

10

10

(Ⅰ)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),請(qǐng)用線性回歸模型擬合的關(guān)系,求出關(guān)于的回歸方程;并估計(jì)元/月的流量包將有多少人購買?

(Ⅱ)若把元/月以下(不包括元)的流量包稱為低價(jià)流量包,元以上(包括元)的流量包稱為高價(jià)流量包,試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí),填寫下面列聯(lián)表,并通過計(jì)算說明是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為購買人的年齡大小與流量包價(jià)格高低有關(guān)?

定價(jià)x(元/月)

小于50元

大于或等于50元

總計(jì)

年輕人(40歲以下)

中老年人(40歲以及40歲以上)

總計(jì)

參考公式:其中

其中

參考數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某省確定從2021年開始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、英語,為必考科目:“1”表示從物理、歷史中任選一門;“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門,共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級(jí)2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);

(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況,對(duì)在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生講行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;

性別

選擇物理

選擇歷史

總計(jì)

男生

50

女生

30

總計(jì)

(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再從這6名學(xué)生中抽取2人,對(duì)“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.

參考公式:,其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,且橢圓上存在一點(diǎn),滿足.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓的半徑的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù),其中常數(shù).

(1)求的最小值;

(2)若,討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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