Question

已知定義域為R的函數f(x)=

m-2x

2x+1

是奇函數．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在R上為減函數；
（Ⅲ）若對于任意的實數t，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數單調性的判斷與證明

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由f（0）=

m-1

2

=0可得m值；
（Ⅱ）?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）的表達式，確定其范圍即可說明f（x）在R上為減函數；
（Ⅲ）由函數的性質可得原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，由△＜0可得范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵定義域為R的函數f(x)=

m-2x

2x+1

是奇函數，
∴f（0）=

m-1

2

=0，∴m=1，
經檢驗當m=1時，f（x）是奇函數，故所求m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x₁＜x₂，∴

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0即f（x₂）＜f（x₁），
∴明f（x）在R上為減函數；
（Ⅲ）根據題設及（Ⅱ）知f（t²-2t）+f（t²-k）＜0，
等價于f（t²-2t）＜-f（t²-k）=f（k-t²），即t²-2t＞k-t²，∴2t²-2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范圍是k＜-

1

2

．

點評：本題主要考查了奇函數的性質f（0）=0（定義域內有0時）的應用，靈活利用該性質可以簡化基本運算，函數的單調性的應用是函數基本知識的應用，而函數的函數成立與函數的奇偶性、單調性的綜合應用是解決抽象不等式（或恒成立）問題中最為常用的工具．