Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）討論方程f（x）=x的根的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分別討論a的取值范圍，得到單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而求出a的具體范圍，
（2）引進(jìn)新函數(shù)g（x）通過作差法解決問題．

解答： 解：（1）①若a=0，則f（x）=x²，滿足f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②若a＜0，∵x²在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

a

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③若a＞0，x在（0，+∞）上趨近于0時(shí)，f（x）趨近﹢∞，
而f（1）=1+a，與f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增矛盾．
綜上知：a的取值范圍為（-∞，0]．
（2）方程f（x）=x即

x3-x2+a

x

=0，
由（1）知a≤0，當(dāng)a=0時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)根x=1；
當(dāng)a＜0時(shí)

x3-x2+a

x

=0等價(jià)于a=-x³+x²，（x≠0）
當(dāng)x＜0時(shí)，-x³+x²＞0，故a=-x³+x²無解；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，-x³+x²=-x²（x-1）≥0，故a=-x³+x²無解；
當(dāng)x＞1時(shí)，令g（x）=-x³+x²，設(shè)1＜x₁＜x₂，
g（x₁）-g（x₂）=-x₁³+x₁²+x₂³-x₂²
=-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-x₁-x₂）
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁²-x₁＞0，x₂²-x₂＞0，
故-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-x₁-x₂）＞0，
所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
而g（1）=0，x趨近+∞時(shí)，g（x）趨近-∞，
故a=-x³+x²在x＞1時(shí)，有唯一解；
綜上，方程f（x）=x有唯一實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．