Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2

3

，PD=CD=2．
（1）求異面直線PA與BC所成角的正切值；
（2）證明平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據異面直線所成角的定義判定∠PAD為異面直線PA與BC所成的角，在△PAD中求角的正切值；
（2）通過證明線線垂直證明AD⊥平面PDC，再證平面PDC⊥平面ABCD；
（3）在平面PDC內，過點P作PE⊥CD，可證PE⊥平面ABCD，解△PCE求得PE，代入棱錐的體積公式計算可得答案．

解答： 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠PAD為異面直線PA與BC所成的角，
∵AD⊥PD，∴tan∠PAD=

PD

AD

=2；
（2）證明：由底面ABCD是矩形，得AD⊥CD，又AD⊥PD，CD∩PD=D，
∴AD⊥平面PDC，AD?平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD；
（3）在平面PDC內，過點P作PE⊥CD交直線CD于點E，
∵平面PDC⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2

3

，可得∠PCD=30°．
在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=

3

，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD•PE=

1

3

×2×2×

3

=

4

3

3

．

點評：本題考查了面面垂直的證明，考查了異面直線所成角的求法及棱錐的體積計算，考查了學生的視圖能力與空間想象能力，解題的關鍵是利用面面垂直的性質求得棱錐的高．