Question

正三角形有這樣一個性質：正三角形內任一點（不與頂點重合）到三邊的距離和為定值．且此定值即高．類比到空間正四面體，對于空間正四面體內任一點（不與頂點重合），關注它到四個面的距離和，請類比出一個正確的結論．并予以證明．

Answer 1

考點：類比推理

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)平面中的某些性質類比推理出空間中的某些性質，一般遵循“點到線”，“線到面”，“面到體”等原則，由在平面幾何中，已知“正三角形內一點到三邊距離之和是一個定值”，是一個與線有關的性質，由此可以類比推出空間中一個與面有關的性質，再由割補法可證明結論．

解答： 解：類比的結論是：空間正四面體內任一點（不與頂點重合）到它的四個面的距離和為定值．且此定值即正四面體的高．…..3
下面給出證明：如圖：
正四面體ABCD，P為其內部一點，則點P將四面體分成四個共頂點的三棱錐．設點P到四個面的距離分別記為PM₁，PM₂，PM₃，PM₄，正四面體的高記為h
由V_P-BCD+V_P-ACD+V_P-ABD+V_P-ABC=V_ABCD…6 

得：

1

3

S△BCD•PM1+

1

3

S△ACD•PM2+

1

3

S△ABD•PM3+

1

3

S△ABC•PM4=

1

3

S△BCD•h…9
∵ABCD為正四面體，
∴四個面面積相同．
∴PM₁+PM₂+PM₃+PM₄=h…..12

點評：本題考查的知識點是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．