Question

已知函數(shù)f(x)=|x-a|+

4

x

(a∈R)．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=0代入，根據(jù)絕對值的意義，分別討論x＞0和x＜0時(shí)，不等式的解集情況，最后綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)解析式化為f（x）=

x-a+ 4 x ，x≥a -x+a+ 4 x ，x＜a

，分當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a∈（0，2）時(shí)和當(dāng)a≥2時(shí)，三種情況分別討論不等式f（x）≥1恒成立時(shí)，a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=|x|+

4

x

不等式f（x）≥0可化為|x|+

4

x

≥0
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式恒成立；
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式可化為-x+

4

x

≥0
解得x≤-2
綜上不等式的解集為（-∞，-2]∪（0，+∞）．       …（3分）
（2）f（x）=

x-a+ 4 x ，x≥a -x+a+ 4 x ，x＜a

…（5分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x+

4

x

-a≥4-a≥1，
∴a≤3．又a≤0，
所以，a≤0滿足題意．                                …（7分）
②當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，函數(shù)f（x）的在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）=x+

4

x

-a≥4-a≥1，
∴a≤3．
又因?yàn)閍∈（0，2），
所以，a∈（0，2）滿足題意．    （10分）
③當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）的在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（a）=

4

a

≥1，
∴a≤4，
又因?yàn)閍＞2，
所以a∈[2，4]滿足題意． （13分）
綜上，a的取值范圍是（-∞，4]．…（14分）

點(diǎn)評：本題以函數(shù)恒成立為載體考查了絕對值函數(shù)問題的解答方法，遇到絕對值問題時(shí)，關(guān)鍵在于去掉絕對值符號(hào)，分類討論是解答時(shí)常用的方法．