Question

設(shè)x，y∈R，且滿足

(x-2)3+2x+sin(x-2)=2 (y-2)3+2y+sin(y-2)=6

，則x+y=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將原不等式組化為：

(x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=-2 (y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=2

，根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)f（t）=t³+2t+sint，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再利用函數(shù)f（t）的奇偶性和單調(diào)性解方程即可．

解答： 解：因?yàn)?span id="xbbp1tx" class="MathJye">

(x-2)3+2x+sin(x-2)=2 (y-2)3+2y+sin(y-2)=6

，所以

(x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=-2 (y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=2

設(shè)f（x）=x³+2x+sinx，x∈R，
所以f（-x）=-x³-2x-sinx=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)，
又f'（x）=3x²+2+cosx＞0，即函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
由題意可知，f（x-2）=-2，f（y-2）=2，
所以f（x-2）+f（y-2）=2-2=0，
即f（x-2）=-f（y-2）=f（2-y），
因?yàn)楹瘮?shù)f（t）單調(diào)遞增，所以x-2=2-y，
即x+y=4，
古答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，利用條件構(gòu)造函數(shù)f（x）是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．