【題目】已知過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓交于點(diǎn)兩點(diǎn).

(1)求的取值范圍

(2)請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k使得其中為坐標(biāo)原點(diǎn),如果存在請(qǐng)求出k的值,并;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

【答案】(1)(2)|MN|=2

【解析】

試題分析:(1)由題意可得,直線l的斜率存在,用點(diǎn)斜式求得直線l的方程,根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值,可得滿足條件的k的范圍;(2)由題意可得,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1,根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解

試題解析:(1)由題意可得,直線l的斜率存在,

設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,1)的直線方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0.

由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)(2,3),半徑R=1.

故由,解得:

故當(dāng),過(guò)點(diǎn)A0,1)的直線與圓C:(x-22+y-32=1相交于M,N兩點(diǎn).

(2)設(shè)M;N,

由題意可得,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1,代入圓C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,

可得,

,

,解得 k=1,

故直線l的方程為 y=x+1,即 x-y+1=0.

圓心C在直線l上,MN長(zhǎng)即為圓的直徑.

所以|MN|=2

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