Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為， 上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，直線恰與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的離心率為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，若交直線于兩點(diǎn).問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）， .

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可知， ，由原點(diǎn)到直線的距離求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)， ，則， ，由，得，求出M,N的坐標(biāo)，因?yàn)?/span>，故以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，在以為直徑的圓中應(yīng)用相交弦定理求出，從而以為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)， .

試題解析：（1）由橢圓定義可知， ，

直線，

故，

∴，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： .

（2）設(shè)，點(diǎn)，則， ，

由，得： ，

直線方程為： ，令，則，故；

直線方程為： ，令，則，故；

因?yàn)?/span>，故以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，設(shè)為，

在以為直徑的圓中應(yīng)用相交弦定理得：

，

因?yàn)?/span>，所以，

從而以為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)， .