【題目】已知函數(shù),

(1)若,且直線是曲線的一條切線,求實數(shù)的值;

(2)若不等式對任意恒成立,求的取值范圍;

(3)若函數(shù)有兩個極值點,,且,求的取值范圍.

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

(1)代入a的值,根據(jù)切線方程得到關于x0的方程,求出切點坐標,解出m即可;

(2)問題轉化為alnx1>0,記gx)=alnx1,通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而確定a的范圍即可;

(3)法一:求出hx2)﹣hx1)的解析式,記mx)=2[(xlnxx],x≥1,根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可;

法二:由hx)=fx)﹣xalnxxx>0,以及hx)有兩個極值點x1x2x1x2),得到x1+x2a,x1x2=1,設t2t>1),從而hx2)﹣hx1 等價于 ht)=(tlntt,t>1,記mx)=(xlnxx,x≥1,根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可.

(1)當時,

設直線與曲線相切于點,

,即,

解得,即切點為

因為切點在上,所以,解得

(2)不等式可化為

, 則對任意恒成立.

考察函數(shù), ,

時,上單調遞減,又

所以,不合題意;

時, ,, ,

所以上單調遞減,在上單調遞增,

,即時,上單調遞增,

所以時, ,符合題意;

,即時,上單調遞減,

所以當時, ,不符合題意;

綜上所述,實數(shù)的取值范圍為

(3)方法一:,,

因為有兩個極值點 ,

所以,即的兩實數(shù)根為 ,

所以, , ,所以,

從而

,

(當且僅當時取等號),

所以上單調遞增,又,

不等式可化為,所以

因為,且上遞增,所以,

的取值范圍為

方法二: ,

因為有兩個極值點,

所以,即的兩實數(shù)根為, ,

所以, , ,所以,

,則, ,所以, , ,

從而等價于,

(當且僅當時取等號),

所以上單調遞增.

,所以

因為,且上遞增,所以,

的取值范圍為

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