Question

二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線垂直
（1）求f（x）的解析式
（2）若函數(shù)g（x）=在（0，2）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=2∴c=2
∵f（x）=f（-2-x）
∴圖象的對(duì)稱軸
導(dǎo)函數(shù)圖象與直線垂直
∴2a=2從而解得：a=1 b=2
∴a=1 b=2 c=2
∴f（x）=x²+2x+2 （x∈R）…（6）
（2）=+2在（0，2）上是減函數(shù)
當(dāng)2-m≤0時(shí)，該函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故不符號(hào)題意．
g（x）=+2≥2+2
該函數(shù)在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上遞減
∴
∴m≤-2…（12）
分析：（1）根據(jù)函數(shù)模型設(shè)出函數(shù)解析式，然后根據(jù)f（0）=2，f（x）=f（-2-x），導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線垂直建立方程，解之即可；
（2）根據(jù)g（x）=+2圖象的性質(zhì)建立不等式式組，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．