Question

二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），它的導函數(shù)的圖象與直線y=2x平行．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)g（x）=xf（x）-x的圖象與直線y=m有三個公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），根據(jù)f（0）=2求出c，然后根據(jù)f（x）=f（-2-x）可得對稱軸，導函數(shù)圖象與直線y=2x平行可求出a，從而求出函數(shù)的解析式；
（II）先利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，然后根據(jù)函數(shù)g（x）=xf（x）-x的圖象與直線y=m有三個公共點，可知m的取值范圍應介于兩極值之間．

解答：解：（I）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）∵f（0）=2∴c=2∵f(x)=f(-2-x)∴圖象的對稱軸-

b

2a

=-1
導函數(shù)圖象與直線y=2x平行∴2a=2，從而解得：a=1，b=2，c=2∴f（x）=x²+2x+2（x∈R）
（II）∵g（x）=xf（x）-x=x³+2x²+x∴g（x）=3x²+4x+1
設g(x)≥0有x≤-1或x≥-

1

3

∴g（x）在（-∞，-1]、[-

1

3

，+∞)上遞增，在(-1，-

1

3

)上遞減
且g（x）極大值g(-1)=0，極小值g(-

1

3

)=-

4

27

，
故m的取值范圍為(-

4

27

，0)

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及求函數(shù)解析式，屬于中檔題．