已知二次函數(shù)f（x）滿足：①在x=1時有極值；②二次函數(shù)圖象過點（0，-3），且在該點處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x2）的單調(diào)遞增區(qū)間與極大值．
分析：（1）設f（x）=ax2+bx+c，則f′（x）=2ax+b．由題設可得：
f′(1)=0
f′(0)=-2
f(0)=-3
，由此能求出f（x）．
（2）由g（x）=f（x2）=x4-2x2-3，知g′（x）=4x3-4x=4x（x-1）（x+1）．列表能求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與極大值．
解答：（本小題13分）
解：（1）設f（x）=ax2+bx+c，則f′（x）=2ax+b．
由題設可得：
f′(1)=0
f′(0)=-2
f(0)=-3
，
即
2a+b=0
b=-2
c=-3.
，
解得
a=1
b=-2
c=-3.

所以f（x）=x2-2x-3．
（2）g（x）=f（x2）=x4-2x2-3，
g′（x）=4x3-4x=4x（x-1）（x+1）．
列表：
x （-∞，-1） -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
g'（x） - 0 + 0 - 0 +
g（x） ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由表可得：函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）和（1，+∞）．
函數(shù)g（x）的極大值是g（0）=-3．
點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和極大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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