Question

已知函數(shù)f(x)=-1+2

3

sinxcosx+2cos2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）畫(huà)出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的圖象，由圖象研究并寫(xiě)出g（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，求出其周期

2π

ω

．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，求得 x的范圍，即可求得減區(qū)間．
（3）用五點(diǎn)法作出 g（x） 的圖象，結(jié)合圖象研究g（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，周期 T=

2π

2

=π．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
所以，減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．
（3）如圖所示：g（x）無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為（-

π

12

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，五點(diǎn)法做正弦函數(shù)的圖象，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，是解題的關(guān)鍵．