Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x+b

，（a，b∈R），若f（x）為奇函數(shù)，且f（1）=5．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并寫(xiě)出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）

x2+a

-x+b

=-

x2+a

x+b

，得出b=0，f（1）=5得出a=4，
（2）設(shè)變量，作差分解因式f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

可判斷單調(diào)性．

解答： （1）解：∵函數(shù)f（x）=

x2+a

x+b

，（a，b∈R），若f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即

x2+a

-x+b

=-

x2+a

x+b

，
b=0，
∵f（1）=5．
∴a=4，
∴f（x）=x+

4

x

，
（2）f（x）=x+

4

x

的函數(shù)圖象，（0，2）（-2，0）上單調(diào)遞減，（2，+∞）（-∞，-2）上單調(diào)遞增，
證明：∵設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，0＜x₁x₂＜4
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴在（0，2）上單調(diào)遞減，
∵設(shè)2＜x₁＜x₂，x₁x₂＞4，x₁x₂-4＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴在（2，+∞）上單調(diào)遞增，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題，掌握好因式分解是關(guān)鍵．