Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=

an2

2(an-1)

，b_n=

an-2

an

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由a_n+1=

an2

2(an-1)

，得到

an+1-2

an+1

=

an2 2(an-1) -2

an2 2(an-1)

=(

an-2

an

)2，結(jié)合b_n=

an-2

an

可得bn+1=bn2．再由已知a₁=4求出b₁，依次求出b₂，b₃，b₄，…，猜測歸納出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：由a_n+1=

an2

2(an-1)

，得：

an+1-2

an+1

=

an2 2(an-1) -2

an2 2(an-1)

=(

an-2

an

)2，
∵b_n=

an-2

an

，
∴bn+1=bn2．
又a₁=4，
∴b1=

1

2

=

1

220

．
則b2=

1

22

=

1

221

．
b3=

1

24

=

1

222

．
…
由此猜測bn=

1

22n-1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，b1=

1

2

=

1

220

成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即bk=

1

22k-1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，bk+1=bk2=(

1

22k-1

)2=

1

22k

=

1

22k+1-1

，
結(jié)論成立．
①②所述，結(jié)論對(duì)于任意的n∈N^*都成立．
∴bn=

1

22n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了由數(shù)列的部分項(xiàng)猜測歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，是中檔題．