【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ ,m∈R
(1)當(dāng)m=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求f(x)的最小值;
(2)討論函數(shù)g(x)=f′(x)﹣ 零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)(理科)若對(duì)任意b>a>0, <1恒成立,求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)m=e時(shí), ,x>0,
解f′(x)>0,得x>e,
∴f(x)單調(diào)遞增;
同理,當(dāng)0<x<e時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
∴f(x)只有極小值f(e),
且f(e)=lne+ =2,
∴f(x)的極小值為2
(2)解:∵g(x)= = =0,
∴m= ,
令h(x)=x﹣ ,x>0,m∈R,
則h(1)= ,h′(x)=1﹣x2=(1+x)(1﹣x),
令h′(x)>0,解得0<x<1,
∴h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,值域?yàn)椋?, );
同理,令h′(x)<0,解得x>1,
∴g(x)要區(qū)是(1,+∞)上單調(diào)遞減,值域?yàn)椋ī仭蓿? ).
∴當(dāng)m≤0,或m= 時(shí),g(x)只有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)0<m< 時(shí),g(x)有2個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)m> 時(shí),g(x)沒(méi)有零點(diǎn)
(3)解:(理)對(duì)任意b>a>0, <1恒成立,
等價(jià)于f(b)﹣b<f(a)﹣a恒成立;
設(shè)h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0),
則h(b)<h(a).
∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
∵h(yuǎn)′(x)= ﹣ ﹣1≤0在(0,+∞)上恒成立,
∴m≥﹣x2+x=﹣ + (x>0),
∴m≥ ;
對(duì)于m= ,h′(x)=0僅在x= 時(shí)成立;
∴m的取值范圍是[ ,+∞)
【解析】(1)當(dāng)m=e時(shí), ,x>0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的極小值.(2)由g(x)= = =0,得m= ,令h(x)=x﹣ ,x>0,m∈R,則h(1)= ,h′(x)=1﹣x2=(1+x)(1﹣x),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g(x)=f′(x)﹣ 零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)(理)當(dāng)b>a>0時(shí),f′(x)<1在(0,+∞)上恒成立,由此能求出m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率為1, 且,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若(1)中橢圓的右頂點(diǎn)為,直線的傾斜角為,問(wèn)為何值時(shí),取得最大值,并求出這個(gè)最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線與圓相交于四個(gè)點(diǎn),,在軸右側(cè),為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1)當(dāng)曲線與圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求;
(2)當(dāng)面積最大時(shí),求;
(3)證明:直線與直線相交于定點(diǎn),求求出點(diǎn)的坐標(biāo)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(﹣1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)﹣f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C;
(2)若c= ,△ABC的面積為 ,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),為了對(duì)白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫 (℃)與該小賣(mài)部的這種飲料銷量(杯),得到如下數(shù)據(jù):
日期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均氣溫(℃) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
銷量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)據(jù)(1)中所得的線性回歸方程,若天氣預(yù)報(bào)1月16日的白天平均氣溫7(℃),請(qǐng)預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷量.
(參考公式:,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè):實(shí)數(shù)滿足,其中;:實(shí)數(shù)滿足.
(1)若,且為真,為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下判斷正確的是( )
A.函數(shù)y=f(x)為R上可導(dǎo)函數(shù),則f'(x0)=0是x0為函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的充要條件
B.命題“ ”的否定是“?x∈R,x2+x﹣1>0”
C.“ ”是“函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)是偶函數(shù)”的充要條件
D.命題“在△ABC中,若A>B,則sinA>sinB”的逆命題為假命題
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