Question

已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A₁、A₂在x軸上，離心率e=

21

3

的雙曲線過點(diǎn)P（6，6）．
（1）求雙曲線方程．
（2）動直線l經(jīng)過△A₁PA₂的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問：是否存在直線l，使G平分線段MN，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線的離心率e=

21

3

，由雙曲線的性質(zhì)，可得

b2

a2

=

12

9

，進(jìn)而可將雙曲線方程為

x2

9

-

y2

12

=λ，λ≠0；將P的坐標(biāo)代入，可得λ的值，進(jìn)而可得答案；
（2）首先根據(jù)P、A₁、A₂的坐標(biāo)得到三角形重心G的坐標(biāo)，再假設(shè)存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，設(shè)出M、N的坐標(biāo)，分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則l的方程可以設(shè)為y=m（x-2）+2，與雙曲線方程聯(lián)立消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程，用△判斷其根的情況可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，雙曲線的離心率e=

21

3

，
則

c2

a2

=

21

9

，可得

b2

a2

=

12

9

；
設(shè)雙曲線方程為

x2

9

-

y2

12

=λ，λ≠0；
由已知，雙曲線過點(diǎn)P（6，6），
將其坐標(biāo)代入方程，解可得λ=1，
則a²=9，b²=12．
所以所求雙曲線方程為

x2

9

-

y2

12

=1；

（2）P、A₁、A₂的坐標(biāo)依次為（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐標(biāo)為（2，2）
假設(shè)存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴l(xiāng)的方程為y=m（x-2）+2，
與雙曲線方程聯(lián)立消去y，
整理得x²-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直線l不存在．

點(diǎn)評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，計算量比較大，解題時，充分利用題干的條件，簡化方程，可以降低運(yùn)算量，提高準(zhǔn)確率．