Question

（本大題滿分14分）

已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，其漸近線方程是，雙曲線過點(diǎn)

(1)求雙曲線方程

(2)動(dòng)直線經(jīng)過的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問:是否存在直線,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論

 

Answer 1

【答案】

(1)所求雙曲線方程為=1 ；

(2)所求直線不存在。

【解析】本試題主要是考查了雙曲線方程的求解，已知直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）利用已知中的漸近線方程是，雙曲線過點(diǎn)

那么設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入點(diǎn)和a,b的關(guān)系得到求解。

（2）假設(shè)存在直線，使G(2，2)平分線段MN，那么利用對(duì)稱性，分別設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，那么聯(lián)立方程組，可知斜率，得到直線的方程，從而驗(yàn)證是否存在。

(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1  …………1分

由已知得………………………………………3分

解得 …………………………………………………5分

所以所求雙曲線方程為=1 ……………………6分

(2)P、A₁、A₂的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），

∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2）…………………………………………………………8分

假設(shè)存在直線，使G(2，2)平分線段MN，

設(shè)M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)  則有

，∴k_l=……………………10分

∴l的方程為y=(x－2)+2,12分

由,消去y,整理得x²－4x+28=0

∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線不存在…………………………………………14分