【題目】設函數\.
(1)若且在處的切線垂直于y軸,求a的值;
(2)若對于任意,都有恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)1;(2).
【解析】
(1)先求得的導函數,根據在處的切線垂直于y軸可知在處的導數等于0,代入即可求得的值.
(2)根據任意,都有恒成立,則成立,代入可得.結合函數單調性,使得在上滿足單調遞增且,即可得的取值范圍.再利用構造函數法,證明在時滿足單調遞增即可.
(1),則,∴,
∵且在處的切線垂直于y軸,
∴,∴,又
∴
(2)對于任意,都有恒成立,則,所以,
,,,得,所以,即,
下面證明成立,
∴,令,,
∴令,,∴,
∴函數在上單調遞增,由,∴,
∴在上單調遞增,.
當時,,∴,∴函數在上單調遞增,
∴成立,
所以對于任意,都有恒成立.
當時,,而在上單調遞增,
∴存在唯一的,使得,即,,
且時,單調遞減,時,單調遞增,
,而,
令,
∴,
令,得或,
或時,單調遞減,時,單調遞增,
∴是的極小值,而,∴當時,有小于0的函數值,也即是有小于0的函數值,這與對于任意,都有恒成立,相矛盾,∴當時,不滿足題意,
綜上可得,a的取值范圍是.
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【題目】某飛機失聯,經衛(wèi)星偵查,其最后出現在小島附近,現派出四艘搜救船,為方便聯絡,船始終在以小島為圓心,100海里為半徑的圓上,船構成正方形編隊展開搜索,小島在正方形編隊外(如圖).設小島到的距離為,,船到小島的距離為.
(1)請分別求關于的函數關系式,并分別寫出定義域;
(2)當兩艘船之間的距離是多少時搜救范圍最大(即最大)?
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【題目】已知函數.
(1)當函數在點處的切線方程為,求函數的解析式;
(2)在(1)的條件下,若是函數的零點,且,求的值;
(3)當時,函數有兩個零點,且,求證:.
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【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行.點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為R,點到月球的距離為r,根據牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設,由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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【題目】某品牌餐飲公司準備在10個規(guī)模相當的地區(qū)開設加盟店,為合理安排各地區(qū)加盟店的個數,先在其中5個地區(qū)試點,得到試點地區(qū)加盟店個數分別為1,2,3,4,5時,單店日平均營業(yè)額(萬元)的數據如下:
加盟店個數(個) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
單店日平均營業(yè)額(萬元) | 10.9 | 10.2 | 9 | 7.8 | 7.1 |
(1)求單店日平均營業(yè)額(萬元)與所在地區(qū)加盟店個數(個)的線性回歸方程;
(2)根據試點調研結果,為保證規(guī)模和效益,在其他5個地區(qū),該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預計值總和不低于35萬元,求一個地區(qū)開設加盟店個數的所有可能取值;
(3)小趙與小王都準備加入該公司的加盟店,根據公司規(guī)定,他們只能分別從其他五個地區(qū)(加盟店都不少于2個)中隨機選一個地區(qū)加入,求他們選取的地區(qū)相同的概率.
(參考數據及公式:,,線性回歸方程,其中,.)
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【題目】某媒體為調查喜愛娛樂節(jié)目是否與觀眾性別有關,隨機抽取了30名男性和30名女性觀眾,抽查結果用等高條形圖表示如圖:
(1)根據該等高條形圖,完成下列列聯表,并用獨立性檢驗的方法分析,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節(jié)目與觀眾性別有關?
(2)從性觀眾中按喜歡節(jié)目與否,用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調查.從這5名中任選2名,求恰有1名喜歡節(jié)目和1名不喜歡節(jié)目的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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【題目】若定義在R上的函數,其圖像是連續(xù)不斷的,且存在常數使得對任意實數x都成立,則稱是一個“k~特征函數”.則下列結論中正確命題序號為____________.
①是一個“k~特征函數”;②不是“k~特征函數”;
③是常數函數中唯一的“k~特征函數”;④“~特征函數”至少有一個零點;
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),為上的動點,點滿足,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.
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【題目】如圖(1),在平面四邊形ABCD中,AC是BD的垂直平分線,垂足為E,AB中點為F,,,,沿BD將折起,使C至位置,如圖(2).
(1)求證:;
(2)當平面平面ABD時,求直線與平面所成角的正弦值.
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