Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=

an-- 1 2n ，n為正偶數(shù) -an- 1 2n ，n為正奇數(shù)

，則S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得Sn=(-1)nan-

1

2n

，從而得到an=-

1

2n+1

，n為正奇數(shù)，an=

1

2n

，（n為正偶數(shù)），進(jìn)而得到a₁+a₂=0，a₃+a₄=0，a₅+a₆=0，…a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=0，由此能求出S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄=0．

解答： 解：由已知得Sn=(-1)nan-

1

2n

，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=-a1-

1

2

，解得a1=-

1

4

；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-

1

2n

-（-1）^n-1a_n-1+

1

2n-1

，
∴an=(-1)nan+(-1)nan-1+

1

2n

，
當(dāng)n為偶數(shù)，a_n-1=-

1

2n

，n≥2，
∴an=-

1

2n+1

，n為正奇數(shù)；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an-1=-2an+

1

2n

=(-2)•(-

1

2n+1

)+

1

2n

=

1

2n-1

，
∴an=

1

2n

，（n為正偶數(shù)），
∴-a₁=-（-

1

22

）=

1

22

，a2=

1

22

，
則a₁+a₂=0
同理，a₃+a₄=0，
a₅+a₆=0，
…
a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=0，
∴S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前2014項(xiàng)的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．