Question

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

(1)求證：平面；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，2.

【解析】

（1）根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).得平面的法向量,求得與法向量的數(shù)量積,即可證明平面;

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,令表示出的坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo).利用直線與平面所成角的正弦值為,可由向量的夾角運(yùn)算求得的值,進(jìn)而表示出求得即可.

（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為.取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:

則,,,,

,,

設(shè)平面的法向量為,

不妨設(shè),

又,

.

,

又平面,

平面.

（2）設(shè),,

,

,

又平面的一個(gè)法向量為,

,

,或,

當(dāng)時(shí),,,

當(dāng)時(shí),,,

綜上.