設(shè)函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c，給出下列4個(gè)命題：
①b=0，c＞0時(shí)，f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根； ②c=0時(shí)，y=f（x）是奇函數(shù)；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱； ④方程f（x）=0至多有2個(gè)實(shí)數(shù)根
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，同時(shí)考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c的圖象關(guān)于（0，c）對(duì)稱，結(jié)合b、c的取值情況，對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一判斷，可以得到正確結(jié)論．
解答：解：b=0時(shí)，原函數(shù)化為
因?yàn)閏＞0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)頂點(diǎn)在x軸上方且開口向上，圖象與x軸無交點(diǎn)，當(dāng)x＜0時(shí)，圖象頂點(diǎn)在x軸上方且開口向下，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，命題①正確．
當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)f（x）=|x|x+bx，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=|-x|（-x）+b（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)，故②命題正確．
因?yàn)閒（x）=|x|x+bx為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各單位，所以y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱，故命題③正確．
對(duì)于命題④，只需舉一個(gè)反例，如b=-3，c=1方程f（x）=0就可化為x
2-3x+1=0（x＞0）或-x
2-3x+1=0（x＜0），求出方程有3個(gè)解，所以命題④不正確．
故選C
點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c進(jìn)行分段是處理該問題的關(guān)鍵，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合的解題思想．
