Question

【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)．設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上無極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，在函數(shù)的圖象上總存在兩條切線相互平行；

（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4，問；這樣的平行切線共有幾組？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2）詳見解析（3）3組

【解析】

（1）求得導(dǎo)函數(shù)，求出的解，題意說明此解不在區(qū)間上，從而得關(guān)于的不等式組，解之可得所求范圍；

（2）從特殊值出發(fā)，不妨設(shè)，此方程中，必有兩個(gè)不等實(shí)根，再證明斜率為1的兩條切線不可能重合即可；

（3）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，，由得，寫出兩切線方程，求出兩切線間距離由，可化簡(jiǎn)為，此方程有三解（可用換元法說明），從而知結(jié)論為3組．

（1）由函數(shù)，得，由，得，或，

因函數(shù)在上無極值點(diǎn)，所以或，解得或.

（2）由（1）知，令，則，所以，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以不論為何值，函數(shù)在兩點(diǎn)，處的切線平行

設(shè)這兩條切線方程為分別為和，若兩切線重合，則,即，即，而=，化簡(jiǎn)得，此時(shí)，與矛盾，所以，這兩條切線不重合，綜上，對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象總存在兩條切線相互平行

（3）當(dāng)時(shí)，，由（2）知時(shí)，兩切線平行.設(shè),,不妨設(shè)，

過點(diǎn)的切線方程為

所以，兩條平行線間的距離，化簡(jiǎn)得

，

令，則，即，即，顯然為一解，有兩個(gè)異于的正根，所以這樣的有3解，而，所以有3解，所以滿足此條件的平行切線共有3組