【題目】已知函數(shù)．

(1)當時，求證：；

(2)討論函數(shù)在R上的零點個數(shù)，并求出相對應(yīng)的a的取值范圍．

【答案】（1）證明見解析；（2）時，函數(shù)在上沒有零點；當時，函數(shù)在上有一個零點；當時，函數(shù)在上有兩個零點.

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最小值，證明最小值大于.（2）先利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值，然后分類討論，根據(jù)零點存在定理，得到每種情況下的零點情況.

（1）當時，，

令，則.

令，得.

當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

所以是的極小值點，也是最小值點，

即

故當時，成立.

（2） ，由，得.

所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

所以是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，

即.

當，即時，在上沒有零點.

當，即時，在上只有一個零點.

當，即時，因為，

所以在內(nèi)只有一個零點；

由（1）得，令，得，

所以，于是在內(nèi)有一個零點；

因此，當時，在上有兩個零點.

綜上，時，函數(shù)在上沒有零點；

當時，函數(shù)在上有一個零點；

當時，函數(shù)在上有兩個零點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線交軸于點．

（1）求的值；

（2）若對于內(nèi)的任意兩個數(shù)，，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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（1）求曲線的方程；

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（1）求數(shù)列，的通項公式；

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【題目】已知函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若，求的值；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）若恰有一個零點，求的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）令函數(shù)，若時，，求實數(shù)的取值范圍.

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（1）若函數(shù)在上無極值點，求的取值范圍；

（2）求證：對任意實數(shù)，在函數(shù)的圖象上總存在兩條切線相互平行；

（3）當時，若函數(shù)的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4，問；這樣的平行切線共有幾組？請說明理由．

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【題目】為了適應(yīng)新高考改革，某校組織了一次新高考質(zhì)量測評（總分100分），在成績統(tǒng)計分析中，抽取12名學(xué)生的成績以莖葉圖形式表示如圖，學(xué)校規(guī)定測試成績低于87分的為“未達標”，分數(shù)不低于87分的為“達標”.

（1）求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)；

（2）在這12名學(xué)生中從測試成績介于80~90之間的學(xué)生中任選2人，求至少有1人“達標”的概率.

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